僕は今まで口を閉めていたことはほとんどなく（証明写真を撮るときくらい）、鼻の手術後、鼻の通りがいいときはなるべく口を閉じているよう心がけているのですが（まだかさぶたが鼻の中にたくさんついている状態で鼻が詰まっている時が多いので術後1ヶ月間くらいかけて通院を繰り返してこれをとります）、正しい口の閉じ方が分かりません。

口を閉じたとき上下の歯が噛み合わさるのですが、まずそれがむずむずして気持ち悪く、口を閉じたままで、歯がはじめ噛み合わせていた所から左右にずれたり、口の中で上下の歯を浮かしてみたりしています。

でも、多少気持ち悪くても歯は上下ガチッと噛んでなければいけないのでしょうか？もし噛んでなければいけないのなら、今までなかった新たな力が歯に加わり歯並びが変わったりするのでしょうか？実はこれから歯の矯正をしようと思っているのですが（僕は出っ歯で
す）影響はあるのでしょうか？

鼻呼吸とは"唇を閉じて、鼻で呼吸をする"ことで、歯を噛み合わせることではありません。
唇を閉じて、上下の歯の間には隙間のある状態が正常な状態で"安静位"といいます。
逆にいつも噛み合わせている状態は異常です。口呼吸の癖が直らない場合には、矯正治療が長引いたり治療後の後戻りが起こりやすくなります。